Борис Павлович Степанцев (Степанцов по рождению) родился 7 декабря 1929 в Москве. Ещё до войны пристрастился к мультфильмам и решил связать свою жизнь с мультипликацией. В 1946 году окончил Московскую художественную школу и курсы художников-мультипликаторов при киностудии «Союзмультфильм». Во время учёбы смотрел много трофейных фильмов, включая мультфильмы студии «Дисней», оказавшие на него большое влияние. С 1947 по 1949 год работал художником-мультипликатором. После пятилетней службы матросом вернулся на студию, а параллельно поступил в Московский полиграфический институт.
В 1954 году дебютировал как режиссёр (один из первых послевоенных кукольных мультфильмов «Злодейка с наклейкой»). Затем увлёкся рисованным кино. С 1956 по 1962 года снял ряд комедийных лент совместно с режиссёром Евгением Райковским и художником-постановщиком Анатолием Савченко, своим постоянным партнёром не только по большинству картин, но также диафильмов и книжных иллюстраций. Степанцеву нравился жанр современной сказки, в котором, в частности, был выполнен «Петя и Красная Шапочка» (1958), награждённый «Лавровым венком» на VII Международном фестивале анимационных фильмов в Анси. Своеобразный сиквел «Только не сейчас» (1962), также снятый по мотивам «постмодернистской» сказки Владимира Сутеева о Пете Иванове, стал одним из ранних советских экспериментов по совмещению живого актёра и рисованной мультипликации. В 1960 году Степанцев и Райковский поставили «Мурзилку на спутнике» — первый в СССР широкоэкранный мультфильм. За него они получили 1-ю премию на XII Международном кинофестивале в Карловых Варах.
В дальнейшем Степанцев работал один. В период с 1965 по 1970 год снял три своих самых известных картины: «Вовка в Тридевятом царстве» (ещё одну современную сказку), «Малыш и Карлсон» и «Карлсон вернулся». В этой дилогии Степанцев впервые в советском кино применил технологию электрографии. С 1966 по 1973 год он поставил ряд драматических мультфильмов, в основе которых лежала русская классическая музыка. На картину «Окно» его вдохновили «Мимолётности» Сергея Прокофьева. Степанцев позже писал, что музыка Прокофьева «сама рисует то, что должно произойти на экране, до мельчайшего жеста определяя игру персонажей... её драматургия была логичнее, точнее многих надуманных сюжетных ходов. Оставалось только следовать ей».
«Песня о соколе» стала переложением одноимённого произведения Максима Горького на музыку Александра Скрябина, а также первым широкоэкранным советским фильмом в стиле живописи по стеклу (целлулоиду). В великолепной экранизации балета Чайковского «Щелкунчик» за 27 минут персонажи не произносят ни слова. Также в мультфильме были использованы комбинированные съёмки и эффекты, больше никем не повторённые в советской мультипликации.
Скончался 21 мая 1983 года.