Максим Леонидович Траньков родился 7 октября 1983 года в Перми, в спортивной семье. На коньки встал в 4-летнем возрасте. С 11 лет занялся парным катанием, его первой партнершей стала Алеся Корчагина, с которой он получил первый взрослый разряд.
В 1999 году по приглашению известного тренера Людмилы Смирновой переехал в Петербург, чтобы кататься в паре с её дочкой Ириной Улановой. Позже в своей автобиографической книге Траньков вспоминал:
«Я сам когда в Питер приехал, ощущение было словно выиграл в лотерею полет в космос. И это 1999 год, обшарпанный город. Улицы разбитых фонарей, короче. Но для меня он казался золотым дворцом. Хотя приходилось жить в общаге, даже не в общаге, а в трибуне стадиона – вместе с Сашей Смирновым. Кресла, стулья с помойки таскали, еду доставали с трудом. Но я тот период жизни очень ценю, он меня многому научил.»
В 2003 году Максим выступал с Марией Мухортовой, в 2005 году они стали чемпионами мира среди юниоров. В 2006 году фигуристы в очередной раз сменили наставника, на этот раз на петербургского тренера Олега Васильева, после чего они уверенно выиграли чемпионат России 2007 года. Стали серебряными призерами чемпионата Европы и России в 2008. Однако их отношения были непростыми, часто меняли тренеров. На зимней Олимпиаде 2010 года пара Траньков-Мухортова заняла 7-е место, а после чемпионата мира, где они заняли 4-е место, пара распалась.
В том же году его новой партнёршей стала фигуристка Татьяна Волосожар, их тренером стала Нина Мозер. Выиграли кубок России 2010 года, чемпионат России 2011 года, лидируя в обеих программах, серебро на чемпионате мира-2011.
С этих пор пара Траньков-Мухортова гремела на весь мир, завоёвывая золото почти каждый год на чемпионатах Европы-2012, 2013, 2014, 2016.
В сезоне 2012-2013 они выиграли все соревнования, в которых участвовали. В 2013 году Федерация спортивных журналистов России присвоила фигуристов «Серебряную лань», как лучшим спортсменам года.
В 2014 году Траньков окончил Московский государственный гуманитарный университет им. М.А. Шолохова.
На зимней Олимпиаде 2014 года в Сочи Волосожар и Траньков стали двукратными олимпийскими чемпионами, с триумфом откатав короткую программу в рамках командного первенства, а также завоевав золотую медаль в личном первенстве. Поставили мировой рекорд, получив максимальное количество баллов за исполнение короткой программы - 84,17 баллов!
В 2015 года Максим и Татьяна поженились, в 2017 году в семье родилась дочка, а в 2021 году - сын. В 2018 году пара объявила о завершении спортивной карьеры.
Сейчас Траньков - Заслуженный мастер спорта и Заслуженный тренер России, кавалер ордена «За заслуги перед Отечеством» IV степени, двукратный олимпийский чемпион, чемпион мира, четырехкратный чемпион Европы и трехкратный чемпион России, призер многих мировых первенств, работает тренером, участвует в различных шоу, живёт в Подмосквье.